Инструкционная карта № 20
Тақырыбы/ Тема : « Вторая производная и ее физический смысл ».
Мақсаты/ Цель:
Уметь находить уравнение касательной, а также тангенс угла наклона касательной к оси ОХ. Уметь находить скорость изменения функции, а также ускорение.
Создать условие для формирования умений сравнить, классифицировать изученные факты и понятия.
Воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении уравнения касательной, а также при нахождении скорости изменения функции и ускорения.
Теоретический материал:
(Геометрический смысл поизводной)
Уравнение касательной к графику функции таково:
Пример 1: Найдём уравнение касательной к графику функции в точке с обсцистсой 2.
Ответ: у = 4х-7
Угловой коэффициент k касательной к графику функции в точке с абсциссой х о равен f / (x o) (k= f / (x o)). Угол наклона касательной к графику функции в заданной точке равен
arctg k = arctg f / (x o), т.е. k= f / (x o)= tg
Пример 2:
Под каким углом синусоида 
пересекает ось абсцисс в начале координат?
Угол, под которым график данной функции пересекает ось абсцисс, равен углу наклона а касательной, проведенной к графику функции f(x) в этой точке. Найдем производную: Учитывая геометрический смысл производной, имеем: и a = 60°. Ответ: =60 0 .
Если функция имеет производную в каждой точке своей области определения, то ее производная есть функция от . Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной ) и обозначают символом .
Пример 3: Найти вторую производную функции: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.
В начале найдем первую производную данной функции f"(x)=(x 3 -4x 2 +2x-7)’=3x 2 -8x+2,
Затем, находим вторую производную от полученной первой производной
f""x)=(3x 2 -8x+2)’’=6x-8. Ответ: f""x) = 6x-8.
(Механический смысл второй производной)
Если точка движется прямолинейно и задан закон ее движения , то ускорение точки равно второй производной от пути по времени:
Скорость материального тела равна первой производной от пути, то есть:
Ускорение материального тела равно первой производной от скорости, то есть:
Пример 4:
Тело движется прямолинейно по закону s (t) = 3 + 2t + t 2 (м). Определите его скорость и ускорение в момент времени t = 3 с. (Путь измеряется в метрах, время в секундах).
Решение
v
(t
) = s΄
(t
) =(3+2t+t 2)’= 2 + 2t
a
(t
) = v΄
(t
) =(2+2t)’= 2 (м/с 2)
v
(3) = 2 + 2∙3 = 8 (м/с). Ответ: 8 м/с; 2 м/с 2 .
Практическая часть:
| 1вариант | 2вариант | 3вариант | 4 вариант | 5 вариант |
| Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через данную точку М график функции f. |
||||
| f(x)=x 2 , M(-3;9) | f(x)=x 3 , M(-1;-1) | |||
| Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой х 0 . |
||||
| f(x)=х 3 -1, х 0 =2 | f(x)=х 2 +1, х 0 =1 | f(x)= 2х-х 2 , х 0 = -1 | f(x)=3sinx, х 0 = | f(x)= х 0 = -1 |
| Найдите угловой коэффициент касательной к функции f в точке с абсциссой х 0 . |
||||
| Найти вторую производную функции: |
||||
| f(x)= 2cosx-х 2 | f(x)= -2sinx+х 3 |
|||
| Тело движется прямолинейно по закону х (t). Определите его скорость и ускорение в момент времени t. (Перемещение измеряется в метрах, время в секундах). |
||||
| х(t)=t 2 -3t, t=4 | х(t)=t 3 +2t, t=1 | х(t)=2t 3 -t 2 , t=3 | х(t)=t 3 -2t 2 +1,t=2 | х(t)=t 4 -0,5t 2 =2, t=0,5 |
Контрольные вопросы:
Как вы считаете физический смысл производной – это мгновенная скорость или средняя скорость?
Какая существует связь между касательной, проведенной к графику функции через любую точку, и понятием производной?
Какое можно дать определение касательной к графику функции в точке М(х 0 ;f(х 0))?
Каков механический смысл второй производной?
Произво́дная (функции в точке) - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f (x ) в двух точках x 0 и x 0 + : f (x 0) и f (x 0 + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента ; соответственно разность между двумя значениями функции: f (x 0 + ) f (x 0 ) называется приращением функции .Производной функции y = f (x ) в точке x 0 называется предел:
Если этот предел существует, то функция f (x ) называется дифференцируемой в точке x 0 . Производная функции f (x ) обозначается так:
Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f (x ):
Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:
где - угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A (x 0 , f (x 0 )). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’(x 0 ) имеет вид:
y = f ’(x 0 ) · x + b .
Чтобы найти b , воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:
f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 + b ,
отсюда, b = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , и подставляя это выражение вместо b , мы получим уравнение касательной :
y = f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · (x – x 0 ) .
Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x (t ) времени t . В течение интервала времени от t 0 до t 0 + точка перемещается на расстояние: x (t 0 + ) x (t 0) = , а её средняя скорость равна: v a = . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называетсямгновенной скоростью v ( t 0 ) материальной точки в момент времени t 0 . Но по определению производной мы имеем:
отсюда, v (t 0 ) = x’ (t 0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени : a = v’ (t ).
8.Таблица производных и правила дифференцирования
О том, что такое производная, мы рассказали в статье «Геометрический смысл производной». Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой - вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.
Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f (x ) в двух точках x 0 и x 0 + : f (x 0) и f (x 0 + ). Здесь через обозначено некотороемалое изменение аргумента, называемое приращением аргумента ; соответственно разность между двумя значениями функции: f (x 0 + ) - f (x 0)называется приращением функции . Производной функции y = f (x ) в точке x 0 называется предел:
Если этот предел существует, то функция f (x ) называется дифференцируемой в точке x 0 . Производная функции f (x ) обозначается так:
Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f (x ):
Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:
Где - угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точкуB, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A (x 0 , f (x 0)). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’(x 0) имеет вид:
y = f ’(x 0) · x + b .
Чтобы найти b ,воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:
f (x 0) = f ’(x 0) · x 0 + b ,
отсюда, b = f (x 0) – f ’(x 0) · x 0 , и подставляя это выражение вместо b , мы получим уравнение касательной :
y = f (x 0) + f ’(x 0) · (x – x 0) .
Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x (t ) времени t . В течение интервала времени от t 0 до t 0 + точка перемещается на расстояние: x (t 0 + ) - x (t 0) = , а её средняя скорость равна: v a = / . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t 0) материальной точки в момент времени t 0 . Но по определению производной мы имеем:
отсюда, v (t 0) = x’ (t 0) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени : a = v’ (t ).
Примеры задач
Задача 1. Составьте уравнение общей касательной к графикам функций и .
Прямая является общей касательной графиков функций и , если она касается как одного, так и другого графиков, но совершенно не обязательно в одной и той же точке.
- уравнение касательной к графику функции y=x2 в точке с абсциссой x0
- уравнение касательной к графику функции y=x3 в точке с абсциссой x1
Прямые совпадают, если их угловые коэффициенты и свободные члены равны. Отсюда
Решением системы будут
Уравнения общих касательных имеют вид:
16. Правила дифференцирования. Производные сложной, обратной и неявной функции.
Правила дифференцирования
При дифференцировании константу можно выносить за производную:
Правило дифференцирования суммы функций:
Правило дифференцирования разности функций:
Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):
Правило дифференцирования частного функций: 
Правило дифференцирования функции в степени другой функции:
Правило дифференцирования сложной функции:
Правило логарифма при дифференцировании функции:
| Производная сложной функции |
| "Двухслойная" сложная функция записывается в виде где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f. Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)! Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих правило производной сложной функции. Это правило широко применяется и во многих других задачах раздела "Дифференцирование". |
| Пример 1 |
| Найти производную функции . Решение. Поскольку , то по правилу производной сложной функции получаем |
Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S = f(t). Как уже известно, производная S t ’ равна скорости точки в данный момент времени: S t ’= V.
Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t +Dt – скорость равна V + DV , т. е. за промежуток времени Dt скорость изменилась на величину DV .
Отношение выражает среднее ускорение движения точки за время Dt
. Предел этого отношения при Dt ®0
называется ускорением точки М
в данный момент t
и обозначается буквой а: 
Итак, вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения точки,
т. е. .
Дифференциалы высших порядков
Пусть y=f(x) дифференцируемая функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал есть также функция х , можно найти дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала функции называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается : .
Дифференциал второго порядка от данной функции равен произведению второго порядка этой функции на квадрат дифференциала независимой переменной:
.
Приложение дифференциального исчисления
Функция называется возрастающей (убывающей
) на интервале (
a; b),
если для любых двух точек
x 1
и
x 2
из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство 
(
).
Необходимое условие возрастания (убывания) : Если дифференцируемая функция на интервале ( a, b) возрастает (убывает), то производная этой функции неотрицательна (неположительна) в этом интервале () .
Достаточное условие возрастания (убывания): Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.
Функция f(x) в точке х 1 имеет максимум , если для любого х f(x 1)>f(x) , при x ¹x 1 .
Функция f(x)
в точке х 1
имеет минимум
, если для любого х
из некоторой окрестности точки выполняется неравенство: f(x 1)
Экстремум функции называют локальным экстремумом, так как понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х 1 . Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может случиться, что минимум в одной точке больше максимума в другой. Наличие максимума или минимума в отдельной точке интервала не означает, что в этой точке функция f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение на этом интервале.
Необходимое условие экстремума: В точке экстремума дифференцируемой функции ее производная равна нулю.
Достаточное условие экстремума: Если производная дифференцируемой функция в некоторой точке х 0 равна нулю и меняет свой знак при переходе через это значение, то число f(х 0) является экстремумом функции, причем если изменение знака происходит с плюса на минус, то максимум, если с минуса на плюс, то минимум.
Точки, в которых производная непрерывной функции равна нулю или не существует называются критическими.
Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы. Правило исследования функции на экстремум:
1). Найти критические точки функции у = f(x) и выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции;
2). Исследовать знак производной f"(x) слева и справа от каждой из выбранных критических точек;
3). На основании достаточного условия экстремума выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.
Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке необходимо выполнить несколько этапов:
1). Найти критические токи функции, решив уравнение f’(x)=0.
2). Если критические точки попали на отрезок, то необходимо найти значения в критических точках и на границах интервала. Если критические точки не попали на отрезок (или их не существует), то находят значения функции только на границах отрезка.
3). Из полученных значений функции выбирают наибольшее и наименьшее и записывают ответ, например, в виде: 
; 
.
Решение задач
Пример 2.1. Найти дифференциал функции: 
.
Решение. На основании свойства 2 дифференциала функции и определения дифференциала имеем:
Пример 2.2. Найти дифференциал функции: 
Решение. Функцию можно записать в виде: , . Тогда имеем:
Пример 2.3. Найти вторую производную функции: 
Решение . Преобразуем функцию .
Найдем первую производную:
найдем вторую производную:
.
Пример 2.4. Найти дифференциал второго порядка от функции 
.
Решение. Найдем дифференциал второго порядка на основании выражения для вычисления :
Найдем сначала первую производную:
; найдем вторую производную: .
Пример 2.5. Найти угловой коэффициент касательной к кривой , проведенной в точке с абсциссой х=2 .
Решение
. На основании геометрического смысла производной имеем, что угловой коэффициент равен производной функции в точке, абсцисса которой равна х
. Найдем 
.
Вычислим – угловой коэффициент касательной к графику функции.
Пример 2.6. Популяция бактерий в момент времени t
(t
измеряется в часах) насчитывает 
особей. Найти скорость роста бактерий. Найти скорость роста бактерий в момент времени t = 5
часов.
Решение. Скорость роста популяции бактерий – это первая производная по времени t : .
Если t = 5 часов, то . Следовательно, скорость роста бактерий составит 1000 особей в час.
Пример 2.7. Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, уменьшении температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. Степень реакции зависит от назначенной дозы лекарства. Если х
обозначает дозу назначенного лекарства, а степень реакции у
описывается функцией 
. При каком значении х
реакция максимальна?
Решение
. Найдем производную 
.
Найдем критические точки: ⇒ 
. ⇒ Следовательно, имеем две критические точки: 
. Значение не удовлетворяет условию задачи.
Найдем вторую производную 
. Вычислим значение второй производной при . 
. Значит, – уровень дозы, который дает максимальную реакцию.
Примеры для самостоятельного решения
Найти дифференциал функции:
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
Найти вторые производные следующих функций:
6. 
.
Найти производные второго порядка и записать дифференциалы второго порядка для следующих функции:
9. 
.
11. Исследовать функцию на экстремум .
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке .
13. Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки максимума и минимума и точки пересечения с осями: 
14. Закон движения точки имеет вид 
. Определить закон скорость и ускорение этой точки.
15. Уравнение движения точки имеет вид (м). Найти 1) положение точки в моменты времени с и с; 2) среднюю скорость за время, прошедшее между этими моментами времени; 3) мгновенные скорости в указанные моменты времени; 4) среднее ускорение за указанный промежуток времени; 5) мгновенные ускорения в указанные моменты времени.
Задание на дом.
Практика:
Найти дифференциал функции:
1. 
;
2. 
;
Найти производные второго порядка функции:
4. 
5. 
Найти дифференциалы второго порядка
6. 
.
7. Точка движется прямолинейно по закону . Вычислить скорость и ускорение в моменты времени и .
Найти интервалы возрастания и убывания функций:
9. 
.
10. При вливании глюкозы ее содержание в крови человека, выраженное в соответствующих единицах, спустя t
часов составит 
. Найдите скорость изменения содержания глюкозы в крови при а) t =1
ч; б) t =2
ч.
Теория.
1. Лекция по теме «Производные и дифференциалы функции нескольких аргументов. Приложение дифференциала функции нескольких аргументов».
2. Занятие 3 данного методического пособия.
3. Павлушков И.В. и другие стр. 101-113, 118-121.
Занятие 3. Производные и дифференциалы функции нескольких аргументов
Актуальность темы: данный раздел математики имеет широкое применение при решении ряда прикладных задач, так как многим явлениям физического, биологического, химического явления присуща зависимость не от одной, а от нескольких переменных (факторов).
Цель занятия: научиться находить частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных.
Целевые задачи:
знать: понятие функции двух переменных; понятие частных производных функции двух переменных; понятие полного и частных дифференциалов функции нескольких переменных;
уметь: находить производные и дифференциалы функций нескольких переменных.
Краткие сведения из теоретического курса
Основные понятия
Переменная z называется функцией двух аргументов x и y, если некоторым парам значений по какому-либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z. Функция двух аргументов обозначается .
Функция задается в виде поверхности в прямоугольной системе координат в пространстве. Графиком функции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства х
Произведение называется частным дифференциалом функции z=f(x,y)по х и обозначаются .
Полный дифференциал функции
Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращение соответствующих независимых переменных, т. е. 
. Так как
и 
тогда можно записать:
или 
.
Пусть задана материальная точка на плоскости. Закон её движения в доль координатной оси описывается по закону $ x(t) $, где $ t $ задаёт время. Тогда за время от $ t_0 $ до $ t_0 + \Delta t $ точка проходит путь $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $. Получается, что средняя скорость такой точки находится по формуле: $$ v_{cp} = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$
Если устремить $ \Delta t $ к нулю, то значение средней скорости будет стремиться к величине называемой мгновенной скоростью в точке $ t_0 $:
$$ \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = v(t_0) $$
По определению производной через предел получаем связь между скоростью и законом движения пути материальной точки:
$$ v(t_0) = \lim_{\Delta \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = x"(t_0) $$
Примеры решений
| Пример 1 |
| Вычислить мгновенную скорость материальной точки в момент времени $ t_0 = 1 $, двигающейся по закону $ x(t) = t^2+3t-1 $ |
| Решение |
|
По определению механического смысла производной получим закон скорости материальной точки: $$ v(t) = x"(t) = (t^2+3t-1)" = 2t + 3 $$ Зная момент времени $ t_0 = 1 $ из условия задачи, находим скорость в этот момент времени: $$ v(t_0) = 2\cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5 $$ Получили, что мгновенная скорость точки в момент $ t_0 = 1 $ равна $ v = 5 $ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ v(t_0) = 5 $$ |
| Пример 2 |
| Движение материальной точки задано законом $ x(t)=t^2-t+3 $. Найти в какой момент времени $ t_0 $ скорость этой точки будет нулевой. |
| Решение |
|
Так как скорость это производная закона пути движения: |
